label {
font-family: Heebo, Arial, sans-serif;
font-weight: bold;
}
סמנו ב-✔, או בטלו את הסימון, כדי להראות/להחביא את החלקים השונים:הגדרותמשפטיםהוכחותדוגמאותלחצו על תגיות ה-"הוכחה." כדי להראות/להחביא הוכחות
כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\bigsqcup}\)איחוד זר גדול
הקוד שלהלן מייצר את הסימון לאיחוד זר כסימן של איחוד רגיל עם נקודה בתוכו. הקוד מבוסס על זה שמופיע בתגובה הרביעית שבשרשור הזה: https://tex.stackexchange.com/questions/3964/mathematical-symbol-for-disjoint-set-union.
יהי \(\left(\Omega,\MKclf,\MKbbp\right)\) מרחב הסתברות.
הגדרה 1.1. תהא \(\left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת מאורעות.
המאורע המתאר ש-\(A_{n}\) מתרחשת באופן שכיח / אין-סוף פעמים הוא המאורע:\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}:=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m}=\left\{ \begin{array}{c|c}
\omega\in\Omega & \forall n\in\MKnatural\ \exists n\leq m\in\MKnatural\ \omega\in A_{m}\end{array}\right\}
\]
המאורע המתאר ש-\(A_{n}\) מתרחשת מקום מסוים ואילך / עבור \(n\) גדול דיו / כמעט תמיד הוא המאורע:\[
\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}:=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty}A_{m}=\left\{ \begin{array}{c|c}
\omega\in\Omega & \exists n\in\MKnatural\ \forall n\leq m\in\MKnatural\ \omega\in A_{m}\end{array}\right\}
\]
\(\clubsuit\)
אנחנו נראה מייד מדוע נבחרו הסימונים \(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\) ו-\(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\).
מסקנה 1.2. לכל סדרת מאורעות \(\left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתקיים:\[\begin{align*}
\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c} & =\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\right)^{c}\\
\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c} & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\right)^{c}
\end{align*}\]
מסקנה 1.3. הלמה של פאטו1על שם Pierre Fatou.\(\:\) לכל סדרת מאורעות \(\left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתקיים:\[\begin{align*}
\MKbbp\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) & \geq\limsup_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(A_{n}\right)\\
\MKbbp\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) & \leq\liminf_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(A_{n}\right)
\end{align*}\]
הוכחה. \(\:\)
מרציפות פונקציית ההסתברות נובע כי:\[\begin{align*}
\MKbbp\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) & =\MKbbp\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m}\right)\\
& =\limsup_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m}\right)\geq\limsup_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(A_{n}\right)
\end{align*}\]כאשר המעבר האחרון נובע מהעובדה שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(A_{n}\subseteq\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m}\) ולכן גם \(\MKbbp\left(\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m}\right)\geq\MKbbp\left(A_{n}\right)\).
החלק השני נובע באופן ישיר מהחלק הראשון ומהמסקנה הקודמת (1.2):\[\begin{align*}
\MKbbp\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) & =1-\MKbbp\left(\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c}\right)=1-\MKbbp\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\right)^{c}\right)\\
& \leq1-\limsup_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(\left(A_{n}\right)^{c}\right)=1-\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(1-\MKbbp\left(A_{n}\right)\right)\\
& =1-1-\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(-\MKbbp\left(A_{n}\right)\right)=-\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(-\MKbbp\left(A_{n}\right)\right)\\
& =\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(\MKbbp\left(A_{n}\right)\right)
\end{align*}\]
משפט 1.4. הלמות של בורל-קנטלי2על שם אמיל בורל ופרנצ'סקו פאולו קנטלי. תהא \(\left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת מאורעות.
הלמה הראשונה - אם הטור \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\MKbbp\left(A_{n}\right)}\) מתכנס במובן הצר, אז \({\displaystyle \MKbbp\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)=0}\).
הלמה השנייה - אם הטור \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\MKbbp\left(A_{n}\right)}\) מתבדר לאין-סוף, ובנוסף \(\left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) בלתי-תלויה, אז \({\displaystyle \MKbbp\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)=1}\).
הוכחה. \(\:\)
כפי שראינו בהוכחת Fatou_lemma (בחלק הראשון), מתקיים:\[
\MKbbp\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m}\right)
\]ע"פ חסם האיחוד מתקיים (לכל \(n\in\MKnatural\)):\[
\MKbbp\left(\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m}\right)\leq\sum_{m=n}^{\infty}\MKbbp\left(A_{m}\right)
\]כעת ניזכר שאם הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\MKbbp\left(A_{n}\right)\) מתכנס במובן הצר אז מתקיים \(\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{m=n}^{\infty}\MKbbp\left(A_{m}\right)=0\), כלומר:\[
\MKbbp\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(\bigcup_{m=n}^{\infty}A_{m}\right)\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{m=n}^{\infty}\MKbbp\left(A_{m}\right)=0
\]וממילא \(\MKbbp\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)=0\).
ממסקנה 1.2, ומרציפות פונקציית ההסתברות, נובע כי:\[\begin{align*}
\MKbbp\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) & =1-\MKbbp\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}\right)^{c}\right)=1-\MKbbp\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty}\left(A_{m}\right)^{c}\right)\\
& =1-\lim_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(\bigcap_{m=n}^{\infty}\left(A_{m}\right)^{c}\right)
\end{align*}\]בנוסף, מהיות \(\left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) בלתי-תלויה נובע שגם \(\left(\left(A_{n}\right)^{c}\right)_{n=1}^{\infty}\) בלתי-תלויה ולכן (לכל \(n\in\MKnatural\)):\[\begin{align*}
\MKbbp\left(\bigcap_{m=n}^{\infty}\left(A_{m}\right)^{c}\right) & =\prod_{n=1}^{\infty}\MKbbp\left(\left(A_{m}\right)^{c}\right)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\MKbbp\left(A_{m}\right)\right)\\
& \leq\exp\left(-\sum_{m=1}^{n}\MKbbp\left(A_{m}\right)\right)
\end{align*}\]כאשר הא"ש נובע מהעובדה ש-\(1-x\leq e^{-x}\) לכל \(x\in\MKreal\). כעת נשים לב שאם \(\sum_{n=1}^{\infty}\MKbbp\left(A_{n}\right)=\infty\) אז מרציפות האקספוננט נובע כי:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\exp\left(-\sum_{m=1}^{n}\MKbbp\left(A_{m}\right)\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\exp\left(x\right)=0
\]\[\begin{align*}
& \Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(\bigcap_{m=n}^{\infty}\left(A_{m}\right)^{c}\right)=0\\
& \Rightarrow\MKbbp\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)=1-0=1
\end{align*}\]
2 התכנסות סדרות של משתנים מקריים
יהי \(\left(\Omega,\MKclf,\MKbbp\right)\) מרחב הסתברות.
תהא \(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת משתנים מקריים מ-\(\Omega\) ל-\(\MKreal\), ויהי \(X:\Omega\rightarrow\MKreal\) משתנה מקרי נוסף.
הגדרה 2.1. \(\:\)
נאמר ש-\(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\)מתכנסת ל-\(X\)כמעט תמיד, ונסמן \(X_{n}\MKlimas X\), אם מתקיים:\[
\MKbbp\left(\left\{ \begin{array}{c|c}
\omega\in\Omega & {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}X_{n}\left(\omega\right)=X\left(\omega\right)}\end{array}\right\} \right)=1
\]
נאמר ש-\(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\)מתכנסת ל-\(X\)בהסתברות, ונסמן \(X_{n}\MKlimp X\), אם לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) מתקיים:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(\left\{ \begin{array}{c|c}
\omega\in\Omega & \left|X_{n}\left(\omega\right)-X\left(\omega\right)\right|\leq\varepsilon\end{array}\right\} \right)=1
\]
נאמר ש-\(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\)מתכנסת ל-\(X\)בהתפלגות, ונסמן \(X_{n}\MKlimd X\), אם לכל \(x\in\MKreal\) כך ש-\(F_{X}\) רציפה ב-\(x\), מתקיים:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}F_{X_{n}}\left(x\right)=F_{X}\left(x\right)
\]
צריך להסביר למה התכנסות בהסתברות והתכנסות כמעט תמיד מוגדרות היטב: מי אמר שהקבוצות הללו אכן שייכות לסיגמא-אלגברה?
\(\clubsuit\)
יחידות הגבול אינה תקפה כאן!
אם \(X\MKalmsur Y\) אז \(X_{n}\MKlimas X\) אם"ם \(X_{n}\MKlimas Y\).
אם \(X\MKalmsur Y\)3האם אפשר להחליף כאן את ה"שוויון כמעט תמיד" במושג מקביל (כפי ששוויון כמעט תמיד גורר את השקילות בהתכנסות כמעט-תמיד? אז \(X_{n}\MKlimp X\) אם"ם \(X_{n}\MKlimp Y\).
אם \(X\MKdist Y\) אז \(X_{n}\MKlimd X\) אם"ם \(X_{n}\MKlimd Y\).
\(\clubsuit\)
הגדרת ההתכנסות בהתפלגות - \(X_{n}\MKlimd X\) אומרת בדיוק שהסדרה \(\left(F_{X_{n}}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת נקודתית ל-\(F_{X}\) בכל נקודת רציפות של \(F_{X}\). הסיבה לכך שאנו דורשים זאת רק בנקודות רציפות היא בגלל מקרים כגון סדרת משתנים מקריים \(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) המקיימת \(X_{n}\sim\MKunif\left(\left[0,\frac{1}{n}\right]\right)\) לכל \(n\in\MKnatural\): טבעי לחשוב שסדרה זו מתכנסת בהתפלגות למשתנה הקבוע \(X\equiv0\), אבל \(F_{X_{n}}\left(0\right)=0\) לכל \(n\in\MKnatural\) בעוד ש-\(F_{X}\left(0\right)=1\).
למה 2.2. לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\), לכל \(n\in\MKnatural\), ולכל \(a\in\MKreal\) מתקיים:\[
F_{X}\left(a-\varepsilon\right)-\MKbbp\left(\left|X_{n}-X\right|>\varepsilon\right)\leq F_{X_{n}}\left(a\right)\leq F_{X}\left(a+\varepsilon\right)+\MKbbp\left(\left|X_{n}-X\right|>\varepsilon\right)
\]
מסקנה 2.3. אם \(X_{n}\MKlimp X\) אז \(X_{n}\MKlimd X\).
הוכחה. נניח ש-\(X_{n}\MKlimp X\), מכאן ש-\(\lim_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(\left|X_{n}-X\right|>\varepsilon\right)=0\), ולכן ע"פ הלמה האחרונה (2.2) מתקיים:\[
F_{X}\left(a-\varepsilon\right)\leq\liminf_{n\rightarrow\infty}F_{X_{n}}\left(a\right)\leq\liminf_{n\rightarrow\infty}F_{X_{n}}\left(a\right)\leq F_{X}\left(a+\varepsilon\right)
\]וזאת לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ולכל נקודת רציפות \(a\in\MKreal\) של \(F_{X}\). מכיוון ש-\(a\) היא נקודת רציפות של \(F_{X}\) נקבל מהאי-שוויונות הנ"ל שמתקיים:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}F_{X_{n}}\left(a\right)=\liminf_{n\rightarrow\infty}F_{X_{n}}\left(a\right)=\liminf_{n\rightarrow\infty}F_{X_{n}}\left(a\right)=F_{X}\left(a\right)
\]
טענה 2.4. אם \(X:\Omega\rightarrow\MKreal\) הוא משתנה מקרי קבוע, ו-\(X_{n}\MKlimd X\), אז \(X_{n}\MKlimp X\).
הוכחה. נניח ש-\(X\) הוא משתנה מקרי קבוע, ויהי \(c\in\MKreal\) אותו קבוע. מהגדרה מתקיים (לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ולכל \(n\in\MKnatural\)):\[\begin{align*}
\MKbbp\left(\left|X_{n}-c\right|\leq\varepsilon\right) & =\MKbbp\left(c-\varepsilon\leq X_{n}\leq c+\varepsilon\right)\\
& =\MKbbp\left(X_{n}\leq c+\varepsilon\right)-\MKbbp\left(X_{n}<c-\varepsilon\right)\\
& \geq{\color{blue}\MKbbp\left(X_{n}\leq c+\varepsilon\right)}{\color{green}-\MKbbp\left(X_{n}\leq c-\varepsilon\right)}
\end{align*}\]כעת נניח ש-\(X_{n}\MKlimd X\), כלומר (לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\)):\[\begin{align*}
{\color{green}{\color{blue}\lim_{n\rightarrow\infty}F_{X_{n}}\left(c+\varepsilon\right)}} & {\color{green}{\color{blue}=F_{X}\left(c+\varepsilon\right)=1}}\\
{\color{green}\lim_{n\rightarrow\infty}F_{X_{n}}\left(c-\varepsilon\right)} & {\color{green}=F_{X}\left(c-\varepsilon\right)=0}
\end{align*}\]ולכן גם \(\MKbbp\left(\left|X_{n}-c\right|\leq\varepsilon\right)\geq{\color{blue}1}-{\color{green}0}=1\), וממילא \(\MKbbp\left(\left|X_{n}-c\right|\leq\varepsilon\right)=1\), וזוהי בדיוק ההגדרה של \(X_{n}\MKlimp c\).
למה 2.5. נסמן \(A_{n}^{k}:=\left\{ \omega\in\Omega:\left|X_{n}\left(\omega\right)-X\left(\omega\right)\right|\leq\frac{1}{k}\right\} \) לכל \(n,k\in\MKnatural\).
מתקיים \(X_{n}\MKlimas X\) אם"ם לכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים \({\displaystyle \MKbbp\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{k}\right)=1}\).
מתקיים \(X_{n}\MKlimd X\) אם"ם לכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים \({\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(A_{n}^{k}\right)=1}\).
העובדה שהתנאי \(X_{n}\MKlimd X\) שקול לכך שלכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים \(\lim_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(A_{n}^{k}\right)=1\), נובעת כמעט מהגדרה.
מסקנה 2.6. אם \(X_{n}\MKlimas X\) אז \(X_{n}\MKlimp X\) (וממילא גם \(X_{n}\MKlimd X\)).
הוכחה. נניח ש-\(X_{n}\MKlimas X\), ע"פ הלמה האחרונה (2.5), מתקיים (לכל \(k\in\MKnatural\)):\[
\MKbbp\left(\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n=m}^{\infty}A_{n}^{k}\right)=\MKbbp\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{k}\right)=1
\]ולכן ע"פ Fatou_lemma מתקיים (לכל \(k\in\MKnatural\)):\[
1=\MKbbp\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{k}\right)\leq\liminf_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(A_{n}^{k}\right)\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(A_{n}^{k}\right)\leq1
\]\[
\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(A_{n}^{k}\right)=1
\]ושוב נקבל מהלמה האחרונה (2.5) ש-\(X_{n}\MKlimd X\).
משפט 2.7. החוק החלש של המספרים הגדולים
אם איברי \(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) בלתי-מתואמים בזוגות, בעלי שונות סופית זהה, ובעלי תוחלת סופית זהה \(\mu\in\MKreal\), אז:\[
\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}X_{k}\MKlimp\mu
\]בפרט הדבר מתקיים אם איברי \(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) בלתי-מתואמים, שווי-התפלגות, ובעלי שונות סופית.
אם איברי \(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) בלתי-תלויים, שווי-התפלגות, ובעלי תוחלת סופית \(\mu\in\MKreal\), אז:\[
\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}X_{k}\MKlimp\mu
\]
\(\clubsuit\)
כלומר כאשר חוזרים על ניסוי שוב ושוב ללא תלות בתוצאות הקודמות, ההסתברות שממוצע תוצאות הניסוי יהיה קרוב לתוחלת שואפת ל-\(1\) ככל שחוזרים על הניסוי פעמים רבות יותר.
הוכחה. \(\:\)
נסמן ב-\(\sigma^{2}\) את השונות של איברי \(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\), מהעובדה שהם בלתי-מותאמים בזוגות נובע שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\MKvar\left(\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}X_{k}\right)=\frac{\sum_{k=1}^{n}\MKvar\left(X_{k}\right)}{n^{2}}=\frac{n\cdot\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}
\]ומליניאריות התוחל נובע כי (לכל \(n\in\MKnatural\)):\[
\MKbbe\left(\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}X_{k}\right)=\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}\MKbbe\left(X_{k}\right)=\frac{n\cdot\mu}{n}=\mu
\]מא"ש צ'בישב נובע כי (לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\)):\[\begin{align*}
\MKbbp\left(\left|\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}X_{k}-\mu\right|>\varepsilon\right) & \leq\MKbbp\left(\left|\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}X_{k}-\mu\right|\geq\varepsilon\right)\\
& \leq\frac{\MKvar\left(\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}X_{k}\right)}{\varepsilon^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}n}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0
\end{align*}\]\[
\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\MKbbp\left(\left|\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}X_{k}-\mu\right|\leq\varepsilon\right)=1
\]
לא ראינו את ההוכחה בכיתה
משפט 2.8. החוק החזק של המספרים הגדולים אם איברי \(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) בלתי-תלויים, שווי-התפלגות, בעלי תוחלת סופית \(\mu\in\MKreal\), ובנוסף קיים \(M\in\MKreal\) כך ש-\(\left|X_{n}\right|\MKlessalmsur M\) לכל \(n\in\MKnatural\); אז מתקיים:\[
\frac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^{n}X_{i}\MKlimas\mu
\]
הוכחה. צריך לכתוב הוכחה
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים?אתם מוזמנים לתת טיפ.להורדה כ-PDF:
#scrollButton {
position: fixed;
bottom: 0.7em;
right: 0.7em;
z-index: 1;
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed;
bottom: 0.7em;
right: 0.7em;
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםאנליזהאלגברהענפים נוספיםמאמריםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקה
{"prefetch":[{"source":"document","where":{"and":[{"href_matches":"\/*"},{"not":{"href_matches":["\/wp-*.php","\/wp-admin\/*","\/wp-content\/uploads\/*","\/wp-content\/*","\/wp-content\/plugins\/*","\/wp-content\/themes\/twentytwentyfive\/*","\/*\\?(.+)"]}},{"not":{"selector_matches":"a[rel~=\"nofollow\"]"}},{"not":{"selector_matches":".no-prefetch, .no-prefetch a"}}]},"eagerness":"conservative"}]}
דף הביתתרומהשיעורים פרטייםמפת אתראודותREADMEהתנצלותו של המתמטיקאיהקדשהאנליזהאלגברהענפים נוספיםמאמריםיסודותצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.id = 'wp-skip-link';
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerText = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );